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岡田正実（気象研、客員）・内田直希（東北大学）・青木重樹（気象研究所）
協力：気象研究所、東北大学地震・噴火予知研究観測センター
相似地震（小繰り返し地震）は、同じ小アスペリティの繰り返し破壊と考えられています。 相似地震は、プレート間の大地震と同じ発生過程であること、波形相関のみで同定されること、 発生間隔の短い系列が多数あることなどから、予測モデルの評価に適しています。 本ページでは、確率予測手法評価のために行っている相似地震の確率予測実験について紹介します。
相似地震がかなり規則的に発生することに注目し、発生間隔のデータだけから、 予測期間内に次のイベントが起きる確率を計算しました。 予測のモデルは、計算が容易で、比較的成績のよい更新過程ベイズ統計対数正規分布モデルを使用しています。 2009年中に相似地震系列（群）で、当該地震が１個以上発生する確率は図１の通りです。 予測系列は、３条件（1993年〜2008年の間に発生した相似地震が５個以上。 平均マグニチュードが2.75以上。2003年十勝沖地震または1994年三陸はるか沖地震の余震が３分の１未満。） を基準にして選出されています。 ３番目の条件で十勝沖が空白になっています。 2008年の予測では127系列でしたが、関東東方沖などで相似地震系列が増え、145系列となっています。 なお、ここで扱う相似地震は、震度１または人体に感じないような小さいもので あり、日常生活に影響ありません。
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図１．２００９年１年間に相似地震１４５系列でイベントが発生する確率
相似地震127系列について行った2008年の予測発生確率（下図左）と、当該地震の発生状況（下図右）を示します。 牡鹿半島沖から襟裳岬の沿岸よりに発生確率が高いと予測されたグループが多く、そこでは地震が多く起きていることが分かります。
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図２．2008年1月〜12月の発生確率予測（左）と結果（右）
図３．2008年予測の発生確率の分布と観測結果。 左側の棒：系列数（棒全体）と発生確率の合計（緑色の部分）、右側の棒（赤色）：当該地震が発生した系列数。
それでは、この結果はどのくらい"当たっている"といえるのでしょうか？ ここでは、下に説明するような"Brier score"と"平均対数尤度"という指標で当たり具合を評価してみます。
Brierスコア ： (Pq-Ev)^2 の平均
Pqは予測した地震発生確率、Evは、地震の有（1）または無（Ev=0）を表す。 ただし、条件付確率が計算できないほど集積確率が大きいときは、モデル不適当（false）とする。 Falseが同数以下であれば、Brier score の小さい方が良い予測である。
平均対数尤度 ： Ev*ln(Pq)+(1-Ev)*ln(1-Pq) の平均。
ただし、予測時の集積確率が99.999%以上、発生確率が 99.999%以上または発生確率が0.001%以下のときは、 モデル不適当（false）とする。 Falseが同数以下であれば、 平均対数尤度の大きい方が良い予測である。
2008年予測の結果は、Brierスコアが0.178で、平均対数尤度が-0.531でした。 図４は、直感的に当たり具合の見当がつくと思われる降水確率予報の成績（2006〜2008年の東京）と平均対数尤度で比べたものです。 下図から、地震予測が、６日程度先の降水確率予報と同程度になっています。 "Brierスコア" も同様な結果になっています。ただし、両スコアは平均的なイベント発生率の影響を受けやすいので、 降水日割合（３年間では約28％）に近くなる１〜７月の地震予測（発生率：34系列／127系列＝27%）を実施していたとすれば、 Brierスコアが0.151で、平均対数尤度が-0.454であり、３日先の天気予報程度となります。なお、降水確率予報データは http://homepage3.nifty.com/i_sawaki/WeatherForecast/index.htm によります。
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図４．平均対数尤度による2008年相似地震予測と1週間後までの降水確率予報（東京）の成績比較
次に、確率予測の統計学的な有意性検定を紹介します。 予測確率が正しいと仮定したときに得られるスコアの理論分布と、観測結果から求めたスコアを比較します。 成績が悪い方へ大きくずれていると、モデルが棄却されます［Schorlemmer・他（2007）］。 例えば、今回の予測確率に従って地震がランダムに発生しているとすれば、Brierスコアの分布は図５の赤い曲線になりますが、 95%線との交点より観測値が大きいと、成績が悪すぎてモデルが棄却されます。 今回の観測結果では、モデルが棄却されません。 同様な方法で、対数尤度（または平均対数尤度）や、地震発生系列数を使って検定できますが、予測はいずれも合格しました。
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図５．Brierスコアを用いた2008年確率予測の統計的検定（BS-test）。
一方、二つのモデルで同じイベントの予測を行った場合には、両モデルのスコア差を検定できます。 イベントが時間的にランダムに発生しているとするモデル（指数分布モデル）で同じ2008年相似地震を予測したとすれば、 Brierスコアが0.223で、平均対数尤度が-0.638となります。 対数尤度（各系列の対数尤度の合計）の差Rを使った検定結果（R-test）が図６です。 指数分布モデルが正しいとすれば、Rの分布はH0: correctの曲線（青曲線）になります。 観測値R=13.5は、95%点から右にはずれているので、指数分布モデルは棄却されます。 一方、私たちのモデルが正しいとすれば、H1: correctの分布（赤曲線）になり、棄却されません。 Brierスコアの差を用いても同様な結果が得られます。 結論として、私たちの予測は指数分布モデルより有意に優れていたことになります。
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図６．指数分布モデル（H0）と予測モデル（H1）との尤度比検定（R-test）。
2008年の予測は、小標本論対数正規分布モデルによるものより、成績が劣っており、その差は統計的に有意となりました。 より単純なモデルより成績が劣ることは、私たちが予測に使用した事前分布が悪かったことを意味しており、原因を慎重に検討する必要があります。 2009年の予測（図１）は、とりあえずの方策として事前分布のパラメータを多少変更して計算してあります。 2009年の結果がどうなるかは今（2009年3月)はまだ分かりませんが、問題点を明らかにし、モデルの改良に役立つことでしょう。 将来、物理的なモデルを予測に組み込むことで、予測精度の向上につなげられるかもしれません。
謝辞： 相似地震の同定には、東北大学のほか、北海道大学、東京大学の地震観測点の波形データを使用させて頂きました。 解析には，一部気象庁による一元化震源を使わせていただきました。 図１と図２の作成には、気象庁地震津波監視課の高山博之さん作成のソフトを使用しています。
| １．2008年予測系列の緯度、経度、平均M、発生確率 および発生地震の表(csv形式、図2にプロットしたもの） | probobs08.csv |
| ２．2009年予測系列の緯度、経度、平均M及び発生確率の表（図１にプロットしたもの） | prob09.csv |
Uchida, N., T. Matsuzawa, T. Igarashi, and A. Hasegawa, 2003, Interplate quasistatic slip off Sanriku, NE Japan, estimated from repeating earthquakes, Geophys. Res. Lett., 30, doi:10.1029/2003GL017452.
内田直希・松澤暢・平原聡・長谷川昭・笠原稔, 2006, 小繰り返し地震による千島・日本海溝沿いプレート境界の準静的すべりモニタリング, 月刊地球, 28(7), 463-469
Uchida, N., T. Matsuzawa, W. L. Ellsworth, K. Imanishi, T. Okada, and A. Hasegawa, 2007, Source parameters of a M4.8 and its accompanying repeating earthquakes off Kamaishi, NE Japan - implications for the hierarchical structure of asperities and earthquake cycle, Geophys. Res. Lett., 34, doi:10.1029/2007GL031263.
岡田正実・高山博之・弘瀬冬樹・内田直希, 2007, 地震長期発生確率予測に使用する更新過程対数正規分布モデルのパラメータ事前分布, 地震2, 60, 85-100
Schorlemmer, D., M. C. Gerstenberger, S. Wiemer, D. D. Jackson, and D. A. Rhoades, 2007, Earthquake likelihood model testing, Seismo. Res. Lett.,78, 17-29.
岡田正実，2009, 繰り返し地震および余震の確率予測，「地震」第２輯地震60周年記念特集号（投稿中）．
岡田正実・内田直希・高山博之・弘瀬冬樹, 北海道・東北東方沖で発生する相似波形地震の発生確率予測, 日本地球惑星科学連合2007年大会, 千葉, 幕張メッセ, 2007年5月.
岡田正実・内田直希・前田憲二・高山博之, 相似地震の確率予測実験 ー統計モデルの成績と展望ー, 地震・火山噴火予知研究計画シンポジウム, 東京, 東京大学地震研究所, 2008年3月.
岡田正実・内田直希・高山博之, 相似地震の確率予測実験と成績検証, 地震研究所共同利用研究集会 地震活動の物理・統計モデルと発生予測, 東京, 東京大学地震研究所, 2008年7月.
Okada, M., N. Uchida, H. Takayama, and K. Maeda, Statistical prediction experiment and its testing for interplate small repeating earthquakes by renewal models, 7th General Assembly of Asian Seismo. Comm., Tsukuba, Nov. 2008.
Okada, M., N. Uchida, K. Maeda, and H. Takayama, Statistical forecasts and tests for small interplate repeating events near the east coast of NE Japan in 2008, JPGU Meeting 2009, Makuhari Messe International Conference Hall, Chiba, May 2009（発表申込中）